Vol 4 - Numéro spécial LILA

Entropie : thermodynamique – énergie – environnement – économie

Liste des articles

Le projet « Lîla-Entropie », est un projet à vocation heuristique. Sans déroger à la rigueur scientifique qui s’impose, le préfixe « Lîla » qualifie explicitement le présent projet au moyen d’un attribut d’origine Sanscrit indiquant la volonté des contributeurs de cerner, directement ou indirectement, les fondements thermodynamiques de l’évolution du monde, de l’acte créateur qui y prend corps, puis d’en penser le management et le contrôle.

Cet éditorial marque la 3ème année du renouveau du journal ENTROPIE. Celui-ci inaugure une série de numéros spéciaux relatifs à une des notions parmi les plus fondamentales et complexes de la Thermodynamique-Energétique : L’ENTROPIE.

L’auteur revient sur les définitions classiques de la notion d’entropie dont il critique l’usage dans des situations inappropriées. Sous-jacente à cette notion est celle d‘évolution pour laquelle sont proposées diverses caractérisations.

Des concepts différents, dérivés de celui d’entropie, mais qui s’y opposent, seront corrélés dans l’analyse de l’état vivant de la matière : ceux de neguentropie et d’anti-entropie. On discutera le rôle disruptif de l’entropie ainsi que son apport à la production de l’organisation du vivant (anti-entropie), dans l’espace et dans le temps. Cela nous permettra de parler de l’historicité du vivant et de définir un espace de viabilité où la diversité anti-entropique est obtenue par intégration/assimilation d’entropie locale (variation) dans les structures spatiales et les rythmes temporels du vivant. Le local co-construit ainsi le global, tout en constituant une contrainte de l’un sur l’autre, dans une tension au coeur de la phylogenèse et de l’ontogenèse.

Cet article est une brève présentation d’algèbres non additives particulières adaptées aux géométries fractales. Elles sont liées à une généralisation des fonctions exponentielles et logarithmiques en fonction d’un paramètre externe marquant la métrique non entière et la topologie hyperbolique de tores pointés présentant un angle au bord. La relation entre ces opérateurs, ce type d’algèbres, les géométries fractales et les dynamiques sous contrôle d’opérateurs différentiels non entiers est analysée. Les différents aspects des statistiques alors incomplètes sont développés à l’aide des nouveaux opérateurs.

Le concept d’entropie a parcouru un long chemin depuis qu’il a été introduit en 1865 par Clausius comme une pièce clef pour completer la thermodynamique et sa structure de transformations de Legendre. Boltzmann, suivi par Gibbs, a ensuite dévoilé son interprétation microscopique, donnant lieu à l’expression additive $$$S_{BG}=k\sum_{i=1}^W p_i \ln (1/p_i)$$$.
Quelques decades plus tard von Neumann lui a donné sa forme quantique, et Shannon l’a reliée à la théorie des communications. Quelque temps après, en 1961, Rényi a généralisé la forme de Boltzmann-Gibbs-von Neumann-Shannon tout en préservant son additivité. Il y a eu par la suite une véritable explosion de fonctionnelles entropiques non additives, environ cinquante aujourd’hui. Avec les multifractals comme inspiration, nous avons postulé en 1988 la forme $$$S_q\equiv k \sum_{i=1}^W p_i \ln_q (1/p_i)$$$ [avec $$$\ln_q z \equiv (z^{1-q}-1)/(1-q);\, \ln_1z=\ln z$$$] comme base pour généraliser la mécanique statistique de Boltzmann-Gibbs elle-même. Au long de cette brève perspective, nous présentons les fondements et principales applications de cette théorie, désigné couramment sous le nom de mécanique statistique non extensive.

Cet article vise à mettre en évidence la recherche de J.A. Tenreiro Machado concernant l’interprétation probabiliste de la dérivée fractionnaire et sa définition d’entropie reconnue dans la littérature scientifique comme entropie de Machado. Cette présentation est contextualisée dans sa trajectoire de travail dans le domaine du calcul fractionnaire.

Au moyen de quelques transformations mathématiques, cet article révèle la nature interne des modèles fractionnaires (ou modèles non entier) décrits par des équations différentielles fractionnaires ou des pseudo représentations d’états. En particulier, le calcul de la réponse impulsionnelle des modèles fractionnaires considérés à l’aide de la méthode de Cauchy montre qu’ils présentent des constantes de temps infiniment petites et infiniment grandes. La représentation diffusive de ces modèles en est déduite. En utilisant la transformée de Fourier, une représentation des modèles fractionnaires par une équation de diffusion définie sur un domaine spatial infini est alors déduite. Les modèles fractionnaires peuvent ainsi être vus comme des modèles doublement infinis : infinis car ils sont distribués et également infinis car ils sont définis sur un domaine spatial infini. Ce domaine infini ou les constantes de temps infiniment grandes de la réponse impulsionnelle révèlent une propriété intrinsèque aux modèles fractionnaires : leur mémoire infinie.