Les sinueux chemins de l’entropie

Le concept d’entropie a parcouru un long chemin depuis qu’il a été introduit en 1865 par Clausius comme une pièce clef pour completer la thermodynamique et sa structure de transformations de Legendre. Boltzmann, suivi par Gibbs, a ensuite dévoilé son interprétation microscopique, donnant lieu à l’expression additive $$$S_{BG}=k\sum_{i=1}^W p_i \ln (1/p_i)$$$.
Quelques decades plus tard von Neumann lui a donné sa forme quantique, et Shannon l’a reliée à la théorie des communications. Quelque temps après, en 1961, Rényi a généralisé la forme de Boltzmann-Gibbs-von Neumann-Shannon tout en préservant son additivité. Il y a eu par la suite une véritable explosion de fonctionnelles entropiques non additives, environ cinquante aujourd’hui. Avec les multifractals comme inspiration, nous avons postulé en 1988 la forme $$$S_q\equiv k \sum_{i=1}^W p_i \ln_q (1/p_i)$$$ [avec $$$\ln_q z \equiv (z^{1-q}-1)/(1-q);\, \ln_1z=\ln z$$$] comme base pour généraliser la mécanique statistique de Boltzmann-Gibbs elle-même. Au long de cette brève perspective, nous présentons les fondements et principales applications de cette théorie, désigné couramment sous le nom de mécanique statistique non extensive.

The concept of entropy has traveled along winding roads since it was introduced in 1865 by Clausius as a key piece to complete thermodynamics and its Legendre transforms structure. Boltzmann, followed by Gibbs, has then revealed its microscopic interpretation, thus leading to the additive expression $$$S_{BG}=k\sum_{i=1}^W p_i \ln (1/p_i)$$$. A few decades later von Neumann provided its quantum form, and Shannon connected it to the theory of communications. Some time later, in 1961, Rényi generalized the Boltzmann-Gibbs-von Neumann-Shannon form, though preserving its additivity. There was then a real explosion of nonadditive entropic functionals, close to fifty nowadays. Inspired by multifractals, we postulated in 1988 the form $$$S_q\equiv k \sum_{i=1}^W p_i \ln_q (1/p_i)$$$ [with $$$\ln_q z \equiv (z^{1-q}-1)/(1-q);\, \ln_1z=\ln z$$$] as a basis for generalizing the Boltzmann-Gibbs statistical mechanics itself. Along the present brief perspective, we present the foundations and main applications of this theory, currently referred to as nonextensive statistical mechanics.

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