Vol 5 - Numéro spécial LILA 2

Entropie : thermodynamique – énergie – environnement – économie

Liste des articles

Le volume 2 du projet Lîla Entropie engage véritablement les fondations théoriques d’un statut géométrique de l’entropie ; statut susceptible d’être exempté de toutes statistiques. Telle est la finalité à terme du travail de Philippe Riot qui interroge, par le biais de la théorie des nombres et dans deux articles complémentaires, non pas l’usage du temps pour parler de la dynamique mais l’usage de l’opérateur standard de succession pour parler du temps qui passe. L’ordre nouveau qui émerge de l’analyse relèvera désormais de celui attaché à l’ombilic des mathématiques : la fonction zêta. Celle-ci devenant de fait aussi l’ombilic de la physique des systèmes complexes et intriqués, la signification de zêta comme nouvelle horloge sera explicitée dans le volume 3 du projet Lîla Entropie.

L’objet de cette note est de rapporter certains aspects des travaux mathématiques de Cédric Villani à propos du lien entre l’équation de Boltzmann et l’irréversibilité du temps. Cette note correspond à une sélection, presque partout « copiée collée », d’un article du mathématicien publié dans le volume XV des séminaires de l’Institut Poincaré. Cet article porte le titre « (Ir)réversibilité et entropie ». Faute de disponibilité la présente note n’a pas pu être pris en charge par l’académicien lui-même ; c’est pourquoi le résumé qui suit n’a pour finalité que de convaincre le lecteur ingénieur ou physicien de se plonger dans le texte original et dans les multiples écrits et conférence de Cédric Villani. Cette note devrait permettre de comprendre pourquoi, à partir de bases mathématiquement solides, chacun de nous doit s’interroger sur le statut archétypal du modèle de Boltzmann et de ses descendants pour penser la temporalité.

La fonction zêta de Riemann est identifiée d’une part comme un substitut du prédicat d’égalité et d’autre part comme modèle du continu. Grâce à cette seconde interprétation la conjecture de Riemann concernant la distribution des zéros non triviaux de cette fonction n’est pas résolue ici mais dissoute au sens où son énoncé s’avère équivalent à un axiome essentiel de la technique de forcing, additionnel aux axiomes ZFC, à savoir l’axiome de D. Martin. Pour des raisons pratique de longueur du texte, la restitution de l’étude de cette fonction est scindée en deux parties. La première se concentre sur l’interprétation de la fonction zêta comme interpolateur logique tandis que la seconde partie sera consacrée à l’étude topologique et ordinale permettant de comprendre la signification de l’énoncé de Riemann concernant la localisation des zéros non triviaux de cette fonction. L’interprétation de la fonction résultant de l’étude dont les deux articles restituent les principales conclusions expliquent le rôle central tenu par cette fonction non seulement en mathématiques, mais aussi dans de nombreux autres domaines scientifiques, en particulier pour étudier le comportement de systèmes complexes.

On introduit dans cet article les définitions d’ordinalement et de cardinalement équipotents ainsi qu’une première classification d’ensembles dénombrables infinis au caractère régulier et uniforme.

Attendu le développement de la première partie 1 la sentence attribuée à Héraclite « εν και παν » soit « l’un est tout » mérite que l’on s’y arrête. La signification fonction zêta de Riemann ζ émerge en recourant à une lecture ordinale de cette fonction. Cette lecture est fondée sur une approche catégorique. Dans ce cadre, il s’avère important de compléter les axiomes de base attachés à la théorie des ensembles sous contraintes ZFC (Zermelo-Fraenckel avec l’axiome du Choix) afin de préciser et de caractériser le rôle du cardinal du continu. La définition même de la fonction ζ justifie que l’on retienne pour ce faire, l’axiome de Martin. Il permet de prolonger les règles de la combinatoire infinie nécessaire à la définition du statut de la fonction zêta au-delà du seuil du plus petit ordinal indénombrable. Il s’agit de axiome de forcing le plus simple évitant tout argument de nature métamathématique. Il s’avère alors que celui-ci se reformule de manière équivalente comme l’énoncé de Riemann sur la distribution de ses zéros non triviaux.

Pour pallier à l’absence de données astronomiques sur les premières conditions de l’expansion de l’univers, un modèle compatible avec le principe fondamental de la cosmologie permet de décrire les premières conditions de l’expansion de l’univers par une fonction d’état qui définit l’entropie à travers la variation de courbure locale de l’espacetemps. La prise en considération de la matière, de l’énergie et du rayonnement dans le modèle permet de décrire les premières conditions nécessaires à leur transformation après leur dislocation instantanée par l’expansion simultanée des éléments de base de l’espace initial. Le modèle permet d’élucider la distribution uniforme de la matière 380 000 ans après le début de l’expansion et conduit à identifier l’origine de la gravité.