An analysis of the internal nature of fractional order models

Through some mathematical transformations, this paper highlights the internal nature of fractional models described by fractional differential equations or pseudo state space descriptions. In particular, the impulse response computation for considered fractional model using the Cauchy method shows that they exhibit infinitely small and high time constants. The diffusive representation of these models is the deduced. Using Fourier transform a representation of fractional models with a diffusion equation defined on an infinite space domain is then deduced. Fractional models can thus be viewed as doubly infinite dimensional models: a first infinite as they are distributed and a second infinity as they are defined on an infinite domain. This infinite domain or the infinitely large time constants of the impulse response reveal a property intrinsic to fractional models: their infinite memory.

Au moyen de quelques transformations mathématiques, cet article révèle la nature interne des modèles fractionnaires (ou modèles non entier) décrits par des équations différentielles fractionnaires ou des pseudo représentations d’états. En particulier, le calcul de la réponse impulsionnelle des modèles fractionnaires considérés à l’aide de la méthode de Cauchy montre qu’ils présentent des constantes de temps infiniment petites et infiniment grandes. La représentation diffusive de ces modèles en est déduite. En utilisant la transformée de Fourier, une représentation des modèles fractionnaires par une équation de diffusion définie sur un domaine spatial infini est alors déduite. Les modèles fractionnaires peuvent ainsi être vus comme des modèles doublement infinis : infinis car ils sont distribués et également infinis car ils sont définis sur un domaine spatial infini. Ce domaine infini ou les constantes de temps infiniment grandes de la réponse impulsionnelle révèlent une propriété intrinsèque aux modèles fractionnaires : leur mémoire infinie.

Fractional models Fractional differentiation diffusive representation long memory

Modèles fractionnaires dérivation fractionnaire représentation diffusive mémoire longue