Méthode de solution en série pour l’équation de réaction-diffusion sur les intervalles finis

La principale contribution de ce document est la généralisation de la solution en série classique, pour des problèmes de valeurs limites de l’équation de réaction-diffusion unidimensionnelle, sur tout intervalle fini. La forme générale de l’équation est considérée sur un intervalle borné générique et est soumise de manière unifiée aux trois conditions aux limites classiques, à savoir les conditions de Neumann, de Dirichlet et de Robin. La méthode de décomposition de Fourier via la théorie de Sturm-Liouville est appliquée à l’équation homogène résultante avec des conditions aux limites nulles. Ensuite, la solution de l’équation non homogène avec conditions aux limites homogènes est déduite en utilisant le principe de Duhamel. La solution du problème général est obtenue comme une série convergente sur l’intervalle considéré avec la construction d’une fonction auxiliaire satisfaisant aux conditions aux limites non homogènes. Grâce à la transformation de Hopf-Cole, la méthode décrite a permis la généralisation de la solution exacte de l’équation de Burgers sur des intervalles
génériques.

This paper makes a contribution by generalizing the classical series solution for initial boundary value problems of the one-dimensional reaction-diffusion equation on any finite interval of the real line. The general form of the equation is considered on a generic bounded interval and is subjected in the unified way to the three classical boundary conditions, namely the Neumann, Dirichlet, and Robin boundary conditions. The Fourier decomposition method, is used to derive the solution of the resulting homogeneous equation with zero boundary conditions. Subsequently, the solution of the nonhomogeneous equation with homogeneous boundary conditions is obtained using the Duhamel’s principle. Finally, the solution of the general problem is obtained as a convergent series over the considered interval, with the construction of an auxiliary. The Hopf-Cole transformation has facilitated the generalization of the exact solution of the Burger’s equation to generic intervals, as demonstrated by the described method.

Transfert de chaleur Principe de Duhamel Théorie de Sturm-Liouville Méthode de décomposition de Fourier Equation de Burgers

Heat transfer Duhamel principle Sturm-Liouville theory Fourier decomposition method Burgers equation